傅里叶变换的重要性质

Conjugate Symmetry(共轭对称性)

F{s∗(r)}=S∗(−k)\mathcal {F}\{s^*(r)\}=S^*(-k) 翻译以下：原图像的共轭(如果纯实数还是原图像)的变换，等于原图像变换左右颠倒然后相位方向上下颠倒。 利用这个数学性质可以节省扫描时间。

Scaling（缩放性质） 总结：时域/空间域越挤，频域越宽；时域/空间域越宽，频域越窄。 F{s(ar)}=1∣a∣S(ka)\mathcal {F}\{s(ar)\} = \frac 1{|a|}S(\frac{k}{a}) Shifting(时/空间移动） 总结：信号在时间轴/空间移动，频域会绕着k轴旋转，而且离原点越远，转的角度越大。

Modulation(调制) 频域上的移动对应时域/空间域上的缩放+旋转 F{ej2πk0rs(r)}=S(k−k0)\mathcal{F}\{e^{j2\pi k_0r}s(r)\} = S(k-k_0)

Parseval’s formula(帕塞瓦尔定理） 本质上是能量守恒 ∫s1(r)s2∗(r)dr=∫S1(k)S2∗(k)dk\int s_1(r)s_2^*(r)dr = \int S_1(k)S_2^*(k)dk ∫∣s(r)∣2dr=∫∣S(k)∣2dk\int |s(r)|^2dr = \int |S(k)|^2 dk Convolution & Multiplication F{s1(r)∗s2(r)}=S1(k)S2(k)\mathcal {F}\{s_1(r)*s_2(r) \}= S_1(k)S_2(k) F{s1(r)s2(r)}=S1(k)∗S2(k)\mathcal {F}\{s_1(r)s_2(r) \}= S_1(k)*S_2(k)