Off Resonance 和 Chemical Shift 的区别

  1. 离共振（off resonance)：质子的进动频率偏离了 MRI 系统设定的中心频率。离共振有很多原因，而化学位移是其中最重要的一个。
  2. 化学位移（chemical shift)：由于电子云外部的屏蔽效应，导致不同化学环境中的同种原子核受到的实际磁场强度不同，产生频率差异。

变量定义

  • r⃗\vec r：空间位置向量
  • m(r⃗)m(\vec r)：空间 r⃗\vec r 处的横向磁化强度
  • MXY(r⃗,t)M_{XY}(\vec r, t)：r⃗\vec r 处 tt 时刻的横向磁化
  • s(t)s(t)：采集的信号
  • T2(r⃗)T_2(\vec r)：r⃗\vec r 处的 T2 弛豫时间
  • Δfr(r⃗)\Delta f_r(\vec r)：由磁场不均匀引起的频率偏移
  • Δfcs\Delta f_{cs}：化学位移引起的频率偏移
  • Δf(r⃗)\Delta f(\vec r)：总频率偏移
  • γ\gamma：磁旋比
  • G⃗\vec G：梯度场向量 (Gx,Gy,Gz)(G_x, G_y, G_z)
  • B0B_0：主磁场强度
  • Cn(r⃗)C_n(\vec r)：第 nn 个 RF 线圈的灵敏度
  • TETE：回波时间

公式推导

横向磁化表达式

m(r⃗)=MXY(r⃗,t=TE)m(\vec r) = M_{XY}(\vec r, t = TE)

s(t)=∫m(r⃗)dr⃗s(t) = \int m(\vec r) d\vec r

加入弛豫

s(t)=∫m(r⃗)e−t/T2(r⃗)dr⃗s(t) = \int m(\vec r) e^{-t/T_2(\vec r)} d\vec r

注：这里的 tt 是从回波中心开始计时的。在理想化过程中，采集的时间非常短，所以我们只关心空间编码，而不会把采集过程中的衰减考虑进去。但是，非理想情况下，这种衰减会带来伪影。

加入离共振

Δfr(r⃗)=γΔB0(r⃗)\Delta f_r(\vec r) = \gamma \Delta B_0(\vec r)

Δfcs\Delta f_{cs}

Δf(r⃗)=Δfcs+Δfr(r⃗)\Delta f(\vec r) = \Delta f_{cs} + \Delta f_r(\vec r)

∫m(r⃗)e−i2πΔf(r⃗)tdr⃗\int m(\vec r) e^{-i2\pi \Delta f(\vec r) t} d\vec r

注：此过程将基准旋转的高频部分 e−i2πf0te^{-i2\pi f_0 t} 抵消，只保留相对中心频率的变化。

加入梯度场

重要概念：在研究梯度场时，我们一般只研究和主磁场同方向的磁场。

G⃗=(Gx,Gy,Gz)\vec G = (G_x, G_y, G_z)

这个表达式并不表示磁场强度的空间分布，而是梯度场和 B0B_0 叠加后沿 YY 轴的磁场强度随空间的变化率。

B⃗=B0+Gxx+Gyy+Gzz\vec B = B_0 + G_x x + G_y y + G_z z

B⃗(r⃗,t)=B0+G⃗(t)⋅r⃗\vec B(\vec r, t) = B_0 + \vec G(t) \cdot \vec r

解调后的空间角频率：

ω(r⃗,t)=γG⃗(t)⋅r⃗\omega(\vec r, t) = \gamma \vec G(t) \cdot \vec r

Φ(r⃗,t)=γ∫0tG⃗(τ)⋅r⃗dτ\Phi(\vec r, t) = \gamma \int_0^t \vec G(\tau) \cdot \vec r d\tau

加入 RF 线圈灵敏度

sn(t)=∫m(r⃗)Cn(r⃗)e−i2πΔfcste−i2πΔfr(r⃗)texp⁡(−iγ∫0tG⃗(t)⋅r⃗dτ)dr⃗s_n(t) = \int m(\vec r) C_n(\vec r) e^{-i2\pi \Delta f_{cs} t} e^{-i2\pi \Delta f_r(\vec r) t} \exp\left(-i\gamma \int_0^t \vec G(t) \cdot \vec r d\tau\right) d\vec r

完整的信号方程

sn(t)=∫m(r⃗)Cn(r⃗)e−i2πΔfcste−i2πΔfr(r⃗)texp⁡(−iγ∫0tG⃗(t)⋅r⃗dτ)dr⃗s_n(t) = \int m(\vec r) C_n(\vec r) e^{-i2\pi \Delta f_{cs} t} e^{-i2\pi \Delta f_r(\vec r) t} \exp\left(-i\gamma \int_0^t \vec G(t) \cdot \vec r d\tau\right) d\vec r