Lecture 3

前两节课的总结

$\delta$函数的筛选特性： $\sum_{-\infty}^{\infty}x[k]\cdot\delta[n-k]$ 系统的特性：线性性、时不变性、因果性……

2 系统的时域分析

2.1 系统数学模型的建立

线性时不变系统的数学模型：微分方程 输入：激励 输出：响应

定义：

• 线性：方程形式为线性组合：比例、积分、微分算子
• 时不变：参数不随时间变化、与时间无关、不含有尺度变换 (注意尺度放缩)

发现： 这种数学形式正好是一个常系数微分方程 $y''+2y'+3y=x$ $y=h(t)\otimes x(t)$

电路系统&力学系统&资源消耗系统： $mx''(t)+fx'(t)+kx(t)=F(t)$ $u_c''(t)+\frac{R}{L}u_c'(t)+\frac 1 {LC}u_c(t) = \frac 1{LC}u_s(t)$ $\frac{dy(t)}{dt} = r - Nc$ 什么是系统的阶数：

• 连续：表达式求导的最高次数

其次方程求解的一般思路：

1. 齐次方程求齐次解$y_h(t)$
2. 求特解：$y_p(t)$
3. 借助初始条件确定系数A,完全解得$y(t)$ 齐次解仅和系统有关，和激励无关，又叫自由响应。特解的函数形式由激励确定，又叫强迫响应。

微分方程的解法：

1. 时域分析法：
   1. 经典法：齐次通解（自由响应）+非齐次通解（强迫响应）
   2. 双零法：零输入响应（解齐次方程）+零状态响应（叠加积分法：卷积） 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态系统储能所产生的响应 零状态响应：当系统储能状态为零时，由外加激励信号所产生的响应
2. 变换域分析法

差分方程：difference equation $y[n]+\sum_{i=1}^{N} a_iy[n-i] = \sum_{i=0}^{M}b_ix[n-i]$

2.2 单位冲激响应

定义： 以单位冲激函数$\delta(t)$作为激励，系统产生的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲激响应$h(t)$