变量定义

  • nn：重复次数索引
  • Gy(n)G_y(n)：第 nn 次重复的相位编码梯度
  • GypG_{yp}：相位编码梯度的最大幅值
  • GyiG_{yi}：梯度变化的步长
  • ϕ(n)\phi(n)：相位编码引入的相位
  • γ\gamma：磁旋比
  • G⃗(τ)\vec G(\tau)：τ\tau 时刻的梯度场向量
  • r⃗\vec r：空间位置向量
  • s(t)s(t)：采集的信号
  • f(r⃗)f(\vec r)：空间位置的图像函数
  • k⃗\vec k：空间频率向量

梯度编码表达式

Gy(n)=−Gyp+(n−1)GyiG_y(n) = -G_{yp} + (n-1) G_{yi}

ϕ(n)=γGy(n)tyy\phi(n) = \gamma G_y(n) t_y y

其中，nn 表示第 nn 个重复，GyiG_{yi} 是梯度变化的步长，一般从 −Gyp-G_{yp} 变换到 +Gyp+G_{yp}。

成像原理推导

ΔBz=G⃗(τ)⋅r⃗\Delta B_z = \vec G(\tau) \cdot \vec r

Δω=γΔBz=γG⃗(τ)⋅r⃗\Delta \omega = \gamma \Delta B_z = \gamma \vec G(\tau) \cdot \vec r

ϕ(t)=∫0tΔω=γ∫0tG⃗(τ)⋅r⃗dτ\phi(t) = \int_0^t \Delta \omega = \gamma \int_0^t \vec G(\tau) \cdot \vec r d\tau

s(t)=∫f(r⃗)exp⁡(−2πiϕ(t))dr⃗s(t) = \int f(\vec r) \exp(-2\pi i \phi(t)) d\vec r

f(r⃗)f(\vec r) 的傅里叶形式：

F{f(r⃗)}=∫f(r⃗)exp⁡(−2πik⃗⋅r⃗)dr⃗\mathcal{F}\{f(\vec r)\} = \int f(\vec r) \exp(-2\pi i \vec k \cdot \vec r) d\vec r

令两者相等，得到空间频率等于梯度对时间的积分：

k⃗=γ∫0tG⃗(τ)dτ\vec k = \gamma \int_0^t \vec G(\tau) d\tau

最终得到：

s(t)=M(k⃗)=F{f(r⃗)}s(t) = M(\vec k) = \mathcal{F}\{f(\vec r)\}

因此，我们只要通过设计序列，在 k-space 上收集足够多的数据，就可以通过反向傅里叶得到原图像。